Close

30.04.2020

«Математическое моделирование процесса пандемии: теория и практика»

Анализ и математическое моделирование вспышек заболеваний играют важную роль в планировании ответных мер органов здравоохранения на вспышки инфекционных заболеваний, эпидемии и пандемии. Основная цель любого такого моделирования – это определение характеристик, динамики и влияния пандемий, а также оценки эффективности мероприятий в различных условиях. Тем не менее, следует учитывать, что основная информация для принимающих решения органов поступает на ежедневной основе не по результатам сложного имитационного моделирования, а из простого и проводимого в реальном времени статистического анализа, основывающегося на механистических моделях передачи, использующих доступные эпидемиологические и вирусологические данные. Математическое моделирование может только служить инструментом для обработки доступных данных и указывать, какие дополнительные сведения могут быть полезны при принятии управленческих решений. В этой небольшой статье мы рассмотрим некоторые обобщенные модели, используемые в настоящее время при моделировании процесса распространения эпидемий.

В основе современного математического моделирования эпидемий заложен принцип экспоненциального роста числа заболевших. Это означает, что рост числа заболевших с течением времени постепенно увеличивается пропорционально определенному коэффициенту, который является константой и рассчитывается для каждого заболевания отдельно. Одной из наиболее распространенных моделей является модель SEIR, в которой всё население делится на группы:

S (Susceptible) – «уязвимый»;

E (Exposed) – зараженный на стадии инкубационного периода;

I (Infected) – зараженный;

R (Recovered) – выздоровевший.

Модель описывает распространение эпидемии в популяции, в которой нет иммунитета к инфекции. Каждый заразившийся (I) имеет фиксированную вероятность выздороветь в единицу времени — то есть перейти в группу выздоровевших (R). Заражение уязвимых (S) происходит в результате «опасных» контактов с зараженными (I). При этом контакты с теми, кто находится в инкубационном периоде, то есть еще не имеет симптомов (E), могут быть как «опасными» (если человек может заражать других до появления признаков болезни) или неопасными, если человек ещё не заразен. В основе модели SEIR два параметра: t – типичное время от заражения до выздоровления и R — коэффициент воспроизводства (его можно понимать как среднее число людей, которых один зараженный успевает заразить за время, пока сам не выздоровеет). Значение t можно представить как сумму разных периодов: инкубационного периода до наступления симптомов (его «заразной» и «незаразной» частей) и времени между первыми проявлениями болезни и выздоровлением. А R₀ — как сумму разных типов заражения: через контакты людей с симптомами и без симптомов или через окружающую среду (зараженные поверхности). R₀ является расчетной величиной (напрямую выявить её можно, только исследовав историю заражения каждого человека в популяции). Обычно R₀ рассчитывается из скорости роста числа новых выявленных зараженных. R₀ может быть разным в разных популяциях и на разных стадиях эпидемии: его значение зависит от принятых мер по подавлению эпидемии, которые прерывают цепочки передачи вируса (различные формы карантина, выявление заразившихся и отслеживание их контактов).

Формула для расчета:

R = (1 + (𝜏ₑ/𝜏₂)ln2) (1 + (𝜏ᵢ/𝜏₂)ln2),

где 𝜏 — средняя длина инкубационного периода, а 𝜏 — заразного периода (ln2 ≈ 0,693 — это натуральный логарифм двух).

Таким образом, при R₀ < 1 эпидемия затухает (на каждого зараженного в среднем приходится меньше одного «уязвимого»), а при R₀ > 1 – она распространяется и охватывает существенную часть населения. Например, при R₀ = 2 общее число переболевших оказывается равно примерно 80 %. Это значит, что в случае, когда R₀ существенно больше единицы, эпидемия остановится только тогда, когда значительная доля населения переболеет и приобретет иммунитет (так называемый групповой иммунитет): доля уязвимых (S) снизится настолько, что у вируса больше не будет достаточно «целей» для распространения.

Для модели SEIR критически важны сведения о темпах роста реального числа зараженных. Основной показатель моделей — R₀, это среднее количество заразившихся от одного инфицированного в условиях отсутствия мер сдерживания. Он рассчитывается на основе данных о времени удвоения числа инфицированных; чтобы знать время удвоения, нужно знать суточные темпы роста числа реально зараженных. Пока не удастся установить долю «неучтенных» в каждой стране или городе (и изменение этой доли со временем), модели получаются слишком грубыми: с их помощью можно уловить лишь общие тенденции и сделать общие выводы – например, нужны ли уже в данной области меры сдерживания эпидемии.

В настоящее время набирают популярность так называемые методы имитационного моделирования и агентного подхода. Сущность имитационного моделирования заключается в том, что для исследуемой системы (развития эпидемии) строятся графические диаграммы связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени. Созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере (одним из программных продуктов позволяющих это сделать является программа AnyLogic). Такой вид моделирования позволяет проникнуть в суть происходящего в системе и выявить причинно-следственные связи между объектами и явлениями. Целью агентного моделирования является получение представления об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Именно такой метод был применен китайскими учеными для моделирования эпидемии коронавируса в Китае.

Агентное моделирование (АМ) используется для моделирования действий и взаимодействий агентов с персонализированными свойствами и поведением. Оно находит широкое применение во многих сферах, включая биологию, экологию и социологию. Поскольку, как отмечают китайские исследователи, распространение 2019-nCoV – это относительно сложный процесс, получение соответствующих параметров для построения модели АМ затруднительно. Поэтому в модели сложный процесс распространения 2019-nCoVбыл до некоторой степени упрощен. Человек, представленный в виде агента – основа этой имитационной модели. Исследование предполагает, что статус каждого человека в модели можно разделить на 4 вида: уязвимый, инфицированный, заболевший и с приобретенным иммунитетом (классическая модель SEIR). В исследовании было сделано предположение, что:

  • каждого больного можно эффективно изолировать и лечить;
  • как только выявлен первый случай заболевания, люди могут успешно минимизировать личные контакты;
  • после определенного промежутка лечения человек выздоравливает и становится невосприимчивым к болезни.

Для исследования в модели была создана простая интерактивная среда. Было выдвинуто предположение, что человек постоянно находится дома или в общественных местах. До появления симптомов болезни (то есть человек не инфицирован или находится в инкубационном периоде) он обычно выходит из дома, направляясь в общественное место, а после этого возвращается обратно. Чтобы имитировать тенденцию распространения эпидемии 2019-nCoV, в модели существовали 10000 человек, один из которых был случайно заражен. Модель запускалась 10 раз, и средние значения показателей были взяты как результат эксперимента. Полученные данные были отсортированы и откорректированы с помощью программы R3.6.2, а модель создавалась на основе ПО AnyLogic. В ходе исследования группе китайских медиков удалось рассчитать некоторые усредненные показатели, в частности частоту заражения 2019-nCoV при личном контакте у пациентов (10,4%); продолжительность инкубационного периода (≈6,6 дней) и время, которое необходимо, чтобы излечиться при назначенном курсе лечения (≈9,8 дней).

К сожалению, стоит признать, что на сегодняшний день не существует эффективной и универсальной модели, которая на основе базовой статистики заболеваний смогла бы достаточно точно спрогнозировать возникновение и оценить протекание того или иного заболевания. Каждая болезнь имеет свои особенности (этиологию) с одной стороны, а кроме того, даже в рамках одной эпидемии эти особенности в разных социумах могут проявляться неодинаково, что мы можем наблюдать на примере последней пандемии коронавирусной инфекции COVID-19, вызванной коронавирусом SARS-CoV-2. Особенно это хорошо прослеживается на фоне сравнения течения заболевания в Юго-Восточной Азии и в странах Южной и Центральной Европы, Латинской Америки. Однако современное моделирование (особенно в сочетании разных методов – математических и имитационных) позволяет оценить масштабы и последствия эпидемий при различных сценариях и действиях властей, что должно повысить качество и эффективность предпринимаемых мер и управленческих решений.

Автор статьи – Иванов М.В., начальник отдела аналитических и социологических исследований МАУ «ИРСИ»